Luennon aluksi käsiteltiin kappale 2 loppuun. Tällöin tutustuttiin konvoluution ominaisuuksiin (laskentasäännöt: a(b+c) = ab+ac, kausaalisuuden ja stabiilisuuden tunnistus impulssivasteesta, jne.). Konvoluution ominaisuuksien käsittelyn yhteydessä tuotiin esille niiden yhteys LTI-järjestelmien yhdistämiseen: peräkkäiset tai rinnakkaiset LTI-järjestelmät voidaan esittää yhtenä järjestelmänä ja toisaalta niiden järjestys ei vaikuta lopputulokseen.
Kappaleen lopussa määriteltiin FIR- ja IIR-suotimet LTI-järjestelmien alalajeina. FIR-suotimet ovat yksinkertaisuutensa vuoksi laajemmin käytettyjä, mutta IIR-suodinten ilmaisuvoima ja laskennallinen tehokkuus tekevät niistä hyödyllisiä useissa tilanteissa.
Testikysymys: onko seuraava suodin FIR vai IIR?
y(n) = 0.9 y(n-1) - y(n-2) + x(n) + 0.5 x(n-1) +2 x(n-2)
Haastavampaa on selvittää esim. se, onko yo. suodin stabiili. Tähän ratkaisu löytyy prujun sivulta 68, johon pääsemme aikanaan.
Toisella tunnilla päästiin kappaleeseen 3: Fourier-muunnos.
Olennaisin asia käsitteli muunnoksen ideaa alla olevan kuvan
mukaisesti. Fourier-muunnoksen idea on kysyä paljonko eri taajuuksia
annetussa signaalissa on. Taululla oli alla olevan piirroksen kaltainen
kuva. Kuvan "yhtälössä" vasemmalla oleva signaalin pätkä jaetaan eri
taajuuksiin kysymällä paljonko tarvitaan vakiotaajuutta (0.3 kpl),
paljonko kerran värähtävää siniä (0.6 kpl), jne. Sama idea on kaikkien
neljän muunnostyypin takana, mutta erona on montako eri taajuutta
tarvitaan muodostamaan alkuperäinen signaali. Joissain tapauksissa niitä
tarvitaan äärettömän paljon, jolloin kuvan summan sijaan tarvitaan
integraali.
Jatkuvat tapaukset perustuvat siis integraalin laskentaan, ja käytännössä tämä täytyy tehdä muunnostaulukoiden avulla.
Jatkuvat tapaukset perustuvat siis integraalin laskentaan, ja käytännössä tämä täytyy tehdä muunnostaulukoiden avulla.
Tarkkaan
ottaen yllä olevan kuvan sinisignaalit eivät riitä esittämään kaikkia
mahdollisia signaaleita: lisäksi tarvitaan mahdollisuus viivästää tai
edistää eri taajuuksia. Tämä onnistuu laajentamalla taajuuksien kokoelma
kompleksiksi eksponenttisignaaleiksi: exp(ix) = cos(x) + i sin(x).
Kompleksinen eksponenttifunktio on oheisen kuvan mukainen, eli sen
reaaliosa ja imaginaariosa värähtelevät samalla taajuudella.
Käsin laskettavien kolmen ensimmäisen muunnostyypin jälkeen tutustuttiin lopuksi diskreettiin Fourier-muunnokseen, joka voidaan esittää matriisimuunnoksena. Muunnosmatriisi muodostetaan lisäämällä rivi kerrallaan ykkösen n:nnen juuren eri
potensseja. Lopuksi esitettiin tällaisen matriisin konstruointi yksikköympyrän avulla tapaukselle N = 4.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti